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如何理解拓扑熵（topological entropy）？

发布时间：2024-04-15 12:42:00 点击量：

最近需要念一些关于 Sarnak's Conjecture 的东西，于是需要知道这个概念。由于之前对动力系统毫无了解，所以对拓扑熵这个概念完全没有感觉，不知道这个数值想用来描述什么。希望大家可以结合一些例子说明拓扑熵定义的动机。如能延伸到数论则再好不过。

目前我也不是特别理解这个拓扑熵的概念。所能查阅到的资料有：

Tao关于Sarnak猜想的博客文章

The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture

，里面有关于熵的介绍；

维基百科

Topological entropy

。

Tao的文章中提到

The M?bius function is known to itself be non-deterministic, because its square (i.e. the indicator of the square-free functions) is known to be non-deterministic (indeed, its topological entropy is ).

Tao的文章中还有几个其它例子。

最初的动机就是为了寻找拓扑共轭下的不变量，正如我们对测度空间上的变换所做的那样，找一个测度熵在拓扑动力系统中的替代品。

教科书式的说法是这个数值是用来表征系统的紊乱程度，混乱程度，不确定度，复杂程度。

相对来说熵的分离集定义会比较直观一点：如果你只能看到后面的有限步，如果你不能区分太近的点，那么究竟有多少轨道“填充”了整个系统。

谈谈自己的理解，区别于随机变量的熵是一个绝对量，动力系统的熵从迭代中产生，是一个边际量的概念，系统随着演化会越来越复杂，而这个复杂程度是和一个以熵为公差的等差数列相比拟的（连续的情况下则为斜率）。

下面这个链接里有一些有趣的回答，可供参考。

ds.dynamical systems https://zhuanlan.zhihu.com/p/27876027

1965年由Adler, Konheim, McAndrew提出，是一个拓扑共轭不变量。也是类比测度熵而提出的。

四、设 $X$ 是一个紧致拓扑空间， $T: X \ o X$ 是连续自映射（以下凡出现 $T$ ，均为连续映射）。可称 $(X,T)$ 为离散拓扑系统。

五、设 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 为 $X$ 的开覆盖。

（1）记 $\\alpha\\vee\\beta=\\{A\\cap B | A\\in\\alpha, B\\in\\beta\\}$ 并称之为 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的交。

类似可以定义有限多开覆盖的交

$\\bigvee^{k}_{i=1}\\alpha_i$

（2） $\\beta$ 称为 $\\alpha$ 的加细，记为 $\\alpha<\\beta$ ，若 $\\beta$ 满足：

$\\forall B\\in\\beta$ ， $\\exists A\\in\\alpha$ ，使得 $B\\subset{A}$ 。

由定义可见，

$\\alpha < \\alpha \\vee \\beta$ ，

且若 $\\beta$ 是 $\\alpha$ 的子覆盖，则 $\\alpha < \\beta$ 。

（3） $T^{-1}\\alpha$ 是所有 $T^{-1}A$ （ $A\\in\\alpha$ ）的开覆盖。

推论：

（3.1） $T^{-1}(\\alpha\\vee \\beta)=T^{-1}(\\alpha) \\vee T^{-1}(\\beta)$

（3.2） $\\alpha < \\beta \\Rightarrow T^{-1}(\\alpha) < T^{-1}(\\beta)$

还可以记：

$\\alpha \\vee T^{-1}\\alpha \\vee \\cdots \\vee T^{-(n-1)}\\alpha=\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\alpha$

也就是：对 $i\\in\\mathbb{N}$ ，记

$T^{-i}\\alpha=\\{T^{-i}A | A\\in\\alpha\\}$

则上述 $\\alpha\\vee\\beta, \\bigvee^{k}_{i=1}\\alpha_i , T^{-i}\\alpha$ 三者均为 $X$ 的开覆盖。

（4）记

$N(\\alpha)=\\min\\{\\# \\gamma | \\gamma\\subset\\alpha, \\bigcup_{B\\in\\gamma}B=X\\}$

其中 $\\#\\gamma$ 表示集合 $\\gamma$ 的基数（势）。这个是孙文祥书里的，GTM79是一句话说明这件事。根据 @西里尔斯的讨论，这个真包含可以放宽为包含。

由X紧致，存在子覆盖 $\\{A_1,A_2,\\cdots,A_{N(\\alpha)}\\}\\subset\\alpha$ ，使得其基数（也称为势）为 $N(\\alpha)$ 。

这样的子覆盖称为最小基数的子覆盖。

六、记 $H(\\alpha)=\\log{N(\\alpha)}$ 为开覆盖 $\\alpha$ 的熵。

推论：

(4.1) $H(\\alpha)\\geq 0$

(4.2) $H(\\alpha)=0 \\iff N(\\alpha)=1 \\iff X \\in \\alpha$

(4.3) $\\alpha<\\beta \\Rightarrow H(\\alpha) \\leq H(\\beta)$

证明：

令 $\\big\\{ B_1 , B_2, \\cdots, B_{N(\\beta)}\\big\\}$ 是 $\\beta$ 最小基数子覆盖， $\\forall i\\in[1,N(\\beta)],\\, \\, \\exists A_i \\supseteq B_i$ 故有：

$\\big\\{ A_1 , A_2, \\cdots, A_{N(\\beta)}\\big\\}$ 覆盖 $X$ ，且是 $\\alpha$ 的一个子覆盖。所以就有：

$N(\\alpha)\\leq N(\\beta)$ .

(4.4) $H(\\alpha \\vee \\beta)\\leq H(\\alpha) + H(\\beta)$

证明：

令 $\\big\\{ A_1 , A_2, \\cdots, A_{N(\\alpha)}\\big\\}$ 是 $\\alpha$ 的最小基数的子覆盖，同理 $\\big\\{ B_1 , B_2, \\cdots, B_{N(\\beta)}\\big\\}$ 是 $\\beta$ 最小基数子覆盖。则：

$\\big\\{A_i \\cap B_j: i \\in[1,N(\\alpha)]; j\\in[1,N(\\beta)]\\big\\}$

是 $(\\alpha \\vee \\beta)$ 的子覆盖。所以 $N(\\alpha \\vee \\beta)\\leq N(\\alpha) N(\\beta)$

因为 $H(\\alpha)=\\log N(\\alpha)$ 这也就是：

$H(\\alpha \\vee \\beta)\\leq H(\\alpha) + H(\\beta)$

感谢 @西里尔斯友情提供的例子！请看下边：

$\\begin{aligned}X &=\\{1,2,3,4,5,6\\}\\\\ \\alpha &=\\{\\{1,2\\},\\{3,4\\},\\{5,6\\}\\}\\\\ \\beta &=\\{\\{1,3,5\\},\\{2,4,6\\}\\}\\\\ \\end{aligned}$

那么， $\\alpha \\vee \\beta=\\{ \\{1\\},\\{2\\},\\{3\\},\\{4\\},\\{5\\},\\{6\\}\\}$

容易数出：

$\\begin{aligned}N(\\alpha \\vee \\beta)=6 \\\\ N(\\alpha)=3 \\\\ N(\\beta)=2 \\\\ \\end{aligned}$

对于这个例子，就有等号成立：

$H(\\alpha\\vee \\beta)=\\ln 6=\\ln 3 + \\ln 2=H(\\alpha) + H(\\beta)$

(4.5) $H(T^{-1}\\alpha) \\leq H(\\alpha)$ 。另外如果 $T$ 是满射(surjective)，则等号成立：

$H(T^{-1}\\alpha)=H(\\alpha)$ 。证明留做习题。

七、定义上述从四到六中，连续映射 $T$ 相对于 $\\alpha$ 的拓扑熵：

$h(T,\\alpha)=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{1}{n}\\ln{N(\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\alpha)}$

此拓扑熵可证明对上述 $(\\alpha, X, T)$ 必存在，取值为 $[0,\\infty)$ ，且具有如下性质：

(4.6) $h(T,\\alpha) \\geq 0$

(4.7) $\\alpha < \\beta \\rightarrow h(T,\\alpha) \\leq h(T,\\beta)$

(4.8) $h(T,\\alpha)\\leq H(\\alpha)$

上述结论证明不难，可留做习题。

由某映射相对于某个开覆盖的熵，可以再往前一步，定义某连续映射 $T$ 的拓扑熵：

$h(T)=\\sup_{\\alpha}h(T,\\alpha)$

(4.9) $h(T)\\geq 0$

(4.10) $h(I)=0$ $I$ 是 $X$ 上的恒等映射。

(4.11) $Y\\subset X$ 是 $X$ 的闭子集，且 $TY=Y$ ，则 $h(T\\vert Y)\\leq h(T)$

后来Bowen给出了拓扑熵的其他定义^[2]。

这一part也挺长的，toric code部分我省略了点，省略的部分可以在知乎搜到其他作者写的。

记得之前听文小刚老师的讲座，拓扑序（topological order）更应该叫纠缠序（entanglement order），即该序由纠缠来刻画。

对于一个有gap的系统，如果它有非平庸的拓扑序，那某部分区域的纠缠熵除了面积率的项还有一个常数项：在二维拓扑有序的系统中子系统的纠缠熵 $S_A\\sim\\alpha L-\\gamma$ ，其中 $\\gamma>0$ 。这个常数项表示系统中存在一种源于拓扑性质的长程纠缠，而 $\\gamma$ 即为系统的拓扑纠缠熵。

当然这里没明确给出拓扑序的定义，下面给出toric code的例子来聊一聊上面的 $\\gamma$ 。

已知toric code哈密顿量为：

$H_{\\rm toric}=-\緻set{s}{\\sum}\緻set{j\\in{\\rm star}}{\\prod}Z_j-\緻set{p}{\\sum}\緻set{j\\in{\\rm plaquette(p)}}{\\prod}X_j$

其中 $X_j,\\ Z_j$ 是在每条边上qubit的泡利算符，如图：

之后我们假设在边上的 $|0\\rangle$ 表示无弦， $|1\\rangle$ 表示有弦，考虑体系的基态。哈密顿量第一项 $\\prod_{j\\in{\\rm star(s)}}Z_j$ 需要穿过顶点的弦为偶数（0，2，4），这样弦就会形成一个闭合的环（loop）；第二项 $\\prod_{j\\in{\\rm plaquette(p)}}X_j$ 可以产生、湮灭或移动围绕矩形面（plaquette）的loop。So基态波函数是所有闭合loop结构 $\\vartheta$ 的等权叠加：

$|\\psi_{\\rm toric }\\rangle=\緻set{\\vartheta}{\\sum}|\\vartheta\\rangle$

$\\vartheta$ 包括了空结构、小的loop、大loop和多个loop：

对于这样弦网形态的基态波函数，咱可以很容易滴计算子区域（也就是子系统）的纠缠熵。在切子系统的时候我们切在俩顶点之间的边上，同时让边界的site变成俩（都是 $|0\\rangle$ 或 $|1\\rangle$ ），对结果没啥影响但更对称：

现在系统被分成了 $A$ 和不是 $A$ （暂且称为 $\\overline{A}$ ），根据施密特分解，基态波函数可以写成

$|\\psi_{\\rm toric}\\rangle=\\sum_q|\\psi^{\\rm in}_q\\rangle|\\psi^{\\rm out}_q\\rangle$

波函数中in表示以 $A$ 内的自旋，out表示 $A$ 以外的，即 $\\overline{A}$ ,它们由边界自旋 $q_1,...q_L$ 连接。假设 $q_m$ 可以取0或1，且 $\\sum_mq_q$ 为偶数，定义波函数 $\\psi^{\\rm in}_{q_1,...q_L}$ 在A中的自旋上，让X表示A里特定的自旋构型， $q_m$ 为0是无弦、1是有弦，如果X是闭合的回路那 $\\psi^{\\rm in}_{q_1,...q_L}(X)=1$ ，同样在A外面也能定义类似的波函数。

再把 $\\psi^{\\rm in}$ 和 $\\psi^{\\rm out}$ 黏在一起，且对于m有 $q_m=r_m$ 得到：

$|\\psi_{\\rm toric}\\rangle=\緻set{q_1+...q_L={\\rm even}}{\\sum}|\\psi^{\\rm in}_{\\rm q_m...q_L}\\rangle |\\psi^{\\rm out}_{\\rm r_m...r_L}\\rangle$